Godel’s incompleteness theorem ผมบอกไม่ได้ว่าผมพูดจริง

จะลองอธิบายตีความ Godel’s incompleteness theorem เป็นภาษาไทยแบบง่ายๆ ให้ฟังกันครับ

ทฤษฎีบทนี้ กล่าวถึงความจริงเกี่ยวกับระบบตรรกะที่ consistent (ไม่สามารถพิสูจน์ว่าขัดแย้งกันเองได้)  โดยมีอยู่ 2 ข้อย่อย
ในนี้ผมจะอธิบายด้วยตัวอย่างของระบบที่ sound (ไม่สามารถพิสูจน์ว่าไม่จริง) ซึ่งเป็นเงื่อนไขที่ strong กว่า (คือระบบที่ sound จะ consistent ด้วย)

ตัวอย่างที่ว่านั้นคือ “ผมเป็นคนพูดจริง(sound)”

-1-

ถ้าผมเป็นคนแต่พูดความจริง

ประโยคที่ว่า “ผมไม่สามารถพิสูจน์ประโยคนี้ได้” ก็จะต้องเป็นความจริงด้วย

เพราะถ้าประโยคที่ว่านี้ไม่จริง แปลว่า “ผมสามารถพิสูจน์ประโยคนี้ได้”
เมื่อสิ่งที่ตรงข้ามกับสิ่งที่ผมพูดสามารถถูกพิสูจน์ได้ แสดงว่าผมไม่ได้เป็นคนพูดแต่ความจริง
ซึ่งขัดการสิ่งที่เรา assume เอาไว้ว่าผมพูดจริง

จากข้อนี้ จะเห็นได้ว่า มีบางประโยคที่คนพูดจริงไม่สามารถพิสูจน์ได้ (ซึ่งที่จริงประโยคที่พิสูจน์ไม่ได้นี้ มีอยู่มากนับไม่ได้)
อย่างไรก็ตาม มีอยู่ประโยคหนึ่งที่พิสูจน์ไม่ได้และน่าสนใจมาก

-2-

ผมไม่มีทางพิสูจน์ได้ว่าผมพูดแต่ความจริง

สังเกตว่าความจริงในข้อ 1 เป็นประโยคแบบถ้าแล้ว
“ถ้า P แล้ว Q”  การที่เราพิสูจน์ P ได้ เป็นการแสดงว่า Q เป็นจริง

ฉะนั้นถ้า”ผม”พิสูจน์ว่า ผมพูดแต่ความจริง
จะเป็นการแสดงว่า “ผม”พิสูจน์ประโยคที่ว่า “ผมไม่สามารถพิสูจน์ประโยคนี้ได้” ไปแล้ว
กลายเป็นว่าผมพูดไม่จริง

แสดงให้เห็นว่า ถ้าให้ผมเป็นคนพิสูจน์เอง จะเกิดความขัดแย้ง contradiction ที่ว่า การพิสูจน์ว่าผมพูดจริงทำให้สรุปได้ว่าผมพูดไม่จริง
(สังเกตว่า ถ้า”คนอื่น”พิสูจน์ จะไม่เกิด contradiction )

จากจุดนี้สรุปได้ว่า เราไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าทุกอย่างที่เราพูดเป็นความจริงได้โดยอาศัยแค่ตัวเอง

ปล. ถ้าใครเห็นว่าอะไรบกพร่องรบกวนบอกด้วยนะครับ

Advertisement